Polinômios e Equações algébricas

A função polinomial

Um polinômio (função polinomial) com coeficientes reais na variável x é uma função matemática f:RR definida por:

p(x) = a_o + a₁x + a₂x² + a₃x³ +...+ a_nxⁿ

onde a_o, a₁, a₂, ..., a_n são números reais, denominados coeficientes do polinômio. O coeficiente a_o é o termo constante.
Se os coeficientes são números inteiros, o polinômio é denominado polinômio inteiro em x.
Uma das funções polinomiais mais importantes é f:RR definida por:

f(x) = a x² + b x + c

O gráfico desta função é a curva plana denominada parábola, que tem algumas características utilizadas em estudos de Cinemática, radares, antenas parabólicas e faróis de carros. Ver o link A função quadrática nesta mesma página para entender a importância da função polinomial quadrática.
O valor numérico de um polinômio p=p(x) em x=a é obtido pela substituição de x pelo número a, para obter p(a).

Exemplo: O valor numérico de p(x)=2x²+7x-12 para x=3 é dado por:

p(3) = 2×(3)²+7×3-12 = 2×9+21-12 = 18+9 = 27

Grau de um polinômio

Em um polinômio, o termo de mais alto grau que possui um coeficiente não nulo é chamado termo dominante e o coeficiente deste termo é o coeficiente do termo dominante. O grau de um polinômio p=p(x) não nulo, é o expoente de seu termo dominante, que aqui será denotado por gr(p).
Acerca do grau de um polinômio, existem várias observações importantes:

1. Um polinômio nulo não tem grau uma vez que não possui termo dominante. Em estudos mais avançados, define-se o grau de um polinômio nulo mas não o faremos aqui.
2. Se o coeficiente do termo dominante de um polinômio for igual a 1, o polinômio será chamado mônico.
3. Um polinômio pode ser ordenado segundo as suas potências em ordem crescente ou decrescente.
4. Quando existir um ou mais coeficientes nulos, o polinômio será dito incompleto.
5. Se o grau de um polinômio incompleto for n, o número de termos deste polinômio será menor do que n+1.
6. Um polinômio será completo quando possuir todas as potências consecutivas desde o grau mais alto até o termo constante.
7. Se o grau de um polinômio completo for n, o número de termos deste polinômio será exatamente n+1.
   

É comum usar apenas uma letra p para representar a função polinomial p=p(x) e P[x] o conjunto de todos os polinômios reais em x.

Igualdade de polinômios

Os polinomios p e q em P[x], definidos por:

p(x) = a_o + a₁x + a₂x² + a₃x³ +...+ a_nxⁿ
q(x) = b_o + b₁x + b₂x² + b₃x³ +...+ b_nxⁿ

são iguais se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n:

a_k=b_k

Teorema: Uma condição necessária e suficiente para que um polinômio inteiro seja identicamente nulo é que todos os seus coeficientes sejam nulos.
Assim, um polinômio:

p(x) = a_o + a₁x + a₂x² + a₃x³ +...+ a_nxⁿ

será nulo se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n:

a_k= 0

O polinômio nulo é denotado por p_o=0 em P[x].
O polinômio unidade (identidade para o produto) p₁=1 em P[x], é o polinômio:

p(x) = a_o + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ...+ a_nxⁿ

tal que a_o=1 e a_k=0, para todo k=1,2,3,...,n.

Soma de polinômios

Consideremos p e q polinômios em P[x], definidos por:

p(x) = a_o + a₁x + a₂x² + a₃x³ +... + a_nxⁿ
q(x) = b_o + b₁x + b₂x² + b₃x³ +... + b_nxⁿ

Definimos a soma de p e q, por:

(p+q)(x) = (a_o+b_o)+(a₁+b₁)x+(a₂+b₂)x²+...+(a_n+b_n)xⁿ

A estrutura matemática (P[x],+) formada pelo conjunto de todos os polinômios com a soma definida acima, possui algumas propriedades:
Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:

(p + q) + r = p + (q + r)

Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que:

p + q = q + p

Elemento neutro: Existe um polinômio p_o(x)=0 tal que

p_o + p = p

qualquer que seja p em P[x].

Elemento oposto: Para cada p em P[x], existe outro polinômio q=-p em P[x] tal que

p + q = 0

Com estas propriedades, a estrutura (P[x],+) é denominada um grupo comutativo.

Produto de polinômios

Sejam p, q em P[x], dados por:

p(x) = a_o + a₁x + a₂x² + a₃x³ +...+ a_nxⁿ
q(x) = b_o + b₁x + b₂x² + b₃x³ +...+ b_nxⁿ

Definimos o produto de p e q, como um outro polinômio r em P[x]:

r(x) = p(x)·q(x) = c_o + c₁x + c₂x² + c₃x³ +...+ c_nxⁿ

tal que:

c_k = a_ob_k + a₁b_k-1 + a₂ b_k-2 + a₃b_k-3 +...+ a_k-1 b₁ + a_kb_o

para cada c_k (k=1,2,3,...,m+n). Observamos que para cada termo da soma que gera c_k, a soma do índice de a com o índice de b sempre fornece o mesmo resultado k.
A estrutura matemática (P[x],·) formada pelo conjunto de todos os polinômios com o produto definido acima, possui várias propriedades:

Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:

(p · q) · r = p · (q · r)

Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que:

p · q = q · p

Elemento nulo: Existe um polinômio p_o(x)=0 tal que

p_o · p = p_o

qualquer que seja p em P[x].
Elemento Identidade: Existe um polinômio p₁(x)=1 tal que

p₁ · p = p

qualquer que seja p em P[x]. A unidade polinomial é simplesmente denotada por p₁=1.
Existe uma propriedade mista ligando a soma e o produto de polinômios
Distributiva: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:

p · (q + r) = p · q + p · r

Com as propriedades relacionadas com a soma e o produto, a estrutura matemática (P[x],+,·) é denominada anel comutativo com identidade.

Espaço vetorial dos polinômios reais

Embora uma sequência não seja um conjunto mas sim uma função cujo domínio é o conjunto dos números naturais, usaremos neste momento uma notação para sequência no formato de um conjunto.
O conjunto P[x] de todos os polinômios pode ser identificado com o conjunto S das sequências quase-nulas de números reais , isto é, as sequências da forma:

p = (a_o,a₁,a₂,a₃,a₄,...,a_n,0,0,0,...)

Isto significa que após um certo número natural n, todos os termos da sequência são nulos.
A identificação ocorre quando tomamos os coeficientes do polinômio

p(x) = a_o + a₁x + a₂x² + a₃x³ +...+ a_nxⁿ

e colocamos os mesmos entre parênteses e após o n-ésimo coeficiente colocamos uma quantidade infinita de zeros, assim nós temos somente uma quantidade finita de números não nulos, razão pela qual tais sequências são denominadas sequências quase-nulas.
Esta forma de notação

p = (a_o,a₁,a₂,a₃,a₄,...,a_n,0,0,0,...)

funciona bem quando trabalhamos com espaços vetoriais, que são estruturas matemáticas onde a soma dos elementos e a multiplicação dos elementos por escalar têm várias propriedades.
Vamos considerar S o conjunto das sequências quase-nulas de números reais com as operações de soma, multiplicação por escalar e de multiplicação, dadas abaixo.
Sejam p e q em S, tal que:

p = (a_o,a₁,a₂,a₃,a₄,...,a_m,0,0,0,...)
q = (b_o,b₁,b₂,b₃,b₄,...,b_n,0,0,0,...)

e vamos supor que m < n.
Definimos a soma de p e q, como:

p+q = (a_o+b_o,a₁+b₁,a₂+b₂,...,a_n+b_n,0,0,0,...)

a multiplicação de p em S por um escalar k, como:

k.p = (ka_o,ka₁,ka₂,ka₃,ka₄,...,ka_m,0,0,...)

e o produto de p e q em S como:

p·q = (c_o,c₁,c₂,c₃,c₄,...,c_n,0,0,0,...)

sendo que

c_k = a_ob_k + a₁b_k-1 + a₂b_k-2 + a₃b_k-3 +...+ a_k-1b₁+a_kb_o

para cada c_k (k=1,2,3,...,m+n).
O conjunto S com as operações definidas é: associativo, comutativo, distributivo e possui elementos: neutro, identidade, unidade, oposto.

Características do grau de um polinômio

Se gr(p)=m e gr(q)=n então

gr(p.q) = gr(p) + gr(q)
gr(p+q)<max{gr(p),gr(q)}

Algoritmo da divisão de polinômios

Dados os polinômios p e q em P[x], dizemos que q divide p se existe um polinômio g em P[x] tal que

p(x) = g(x) q(x)

Se p em P[x] é um polinômio com gr(p)=n e g é um outro polinômio com gr(g)=m<n, então existe um polinômio q em P[x] e um polinômio r em P[x] com gr(r)<gr(g), tal que:

p(x) = q(x) g(x) + r(x)

Um caso particular importante é quando tomamos g(x)=x-c e

p(x) = a_o + a₁x + a₂x² + a₃x³ +...+ a_nxⁿ

Como para todo k=1,2,3,...,n vale a identidade:

x^k-c^k = (x-c)( x^k-1 + cx^k-2 + c²x^k-3 +...+ c^k-2x+c^k-1 )

então para

p(x) = a_o + a₁x + a₂x² + a₃x³ +...+ a_nxⁿ

temos que

p(c) = a_o + a₁c + a₂c² + a₃c³ +...+ a_ncⁿ

e tomando a diferença entre p(x) e p(c), teremos:

p(x)-p(c) = a₁(x-c) + a₂(x²-c²) + a₃(x³-c³) +...+ a_n(xⁿ-cⁿ)

o que garante que podemos evidenciar g(x)=x-c para obter

p(x)- p(c)=(x-c) q(x)

onde q=q(x) é um polinômio de grau n-1. Assim, podemos escrever:

p(x)=(x-c) q(x)+p(c)

e é claro que r(x)=p(c) é um polinômio de grau 0.

Zeros de um polinômio

Um zero de um polinômio real p em P[x] é um número c, que pode ser real ou complexo, tal que p(c)=0. O zero de um polinômio também é denominado raiz do polinômio.
Uma consequência do Algoritmo da Divisão de polinômios é que:

x-c é um fator de p se, e somente se, r(x)=f(c)=0

o que é equivalente a:

c é um zero de p, sse, x-c é um divisor de p=p(x)

Equações Algébricas e Transcendentes

Uma equação algébrica real na variável x é uma relação matemática que envolve apenas um número finito de operações de soma, subtração, produto, divisão e radiciação de termos envolvendo a variável x.
Exemplos

1. 2x²+3x+7=0
2. 3x²+7x^½=2x+3

A função exponencial exp(x)=e^x pode ser escrita como um somatório com infinitos termos contendo potências de x:

e^x = 1 + x +x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + x⁵/5! +...

assim, a equação

x²+7x=e^x

não é uma equação algébrica, o que equivale a dizer que esta equação é transcendente.
Quando a equação é da forma:

p(x) = 0

onde p é um polinômio real em P[x], ela será chamada equação polinomial.
Quando uma equação possui a variável sob um sinal de radiciação ela é chamada equação irracional.
Exemplo: 2x²+3x+7 =0 e 3x²+7x^½=2x+3 são equações algébricas. A primeira é polinomial, mas a segunda não é polinomial. Esta segunda é uma equação irracional.
Observação: Uma equação algébrica irracional sempre poderá ser colocada na forma de uma equação polinomial. Quando uma equação algébrica irracional é transformada em uma equação polinomial, as raízes da nova equação poderão não coincidir com as raízes da equação original e as raízes obtidas desta nova equação que não servem para a equação original são denominadas raízes estranhas.
Exercício: Apresentar uma equação irracional que tenha raízes estranhas.

Métodos de resolução algébrica

Alguns tipos especiais de equações podem ser resolvidos.
Equação do 1o. grau: A equação ax+b=0 com a diferente de zero, admite uma única raíz dada por:

x = -b/a

Equação do 2o. grau: A equação ax²+bx+c=0 com a diferente de zero, admite exatamente duas raízes no conjunto dos números complexos, dadas por:

x₁=(-b+R[b²-4ac] / 2a
x₂=(-b- R[b²-4ac]/ 2a

onde R[z] é a raiz quadrada de z.

Equação cúbica: A equação ax³+bx²+cx+d=0 com a não nulo, admite exatamente três raízes no conjunto dos números complexos que podem ser obtidas pela fórmula de Tartaglia (Cardano).

Equação quártica: A equação ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0 com a não nulo, admite exatamente quatro raízes no conjunto dos números complexos que podem ser obtidas pela fórmula de Ferrari.

Equação quíntica: Para equações de grau maior ou igual a 5, não existem métodos algébricos para obter todas as raízes, mas existem muitos métodos numéricos que proporcionam as raízes de tais equações com grande precisão.
Existe uma versão da planilha Kyplot disponível gratuitamente na Internet, que dispõe de um mecanismo capaz de calcular com grande precisão raízes de equações polinomiais de grau n.
Em Português, há um excelente livro que trata sobre Equações Algébricas e a história da Matemática subjacente: "O Romance das Equações Algébricas, Gilberto G. Garbi, Makron Books, São Paulo, 1999."

Teorema Fundamental da Álgebra

Teorema (Gauss): Toda equação algébrica polinomial com coeficientes reais ou complexos, admite no conjunto dos números complexos, pelo menos uma raiz.

Teorema equivalente: Toda equação algébrica polinomial de grau n, com coeficientes reais ou complexos, admite exatamente n raízes, no conjunto dos números complexos.

Consequência: Toda equação algébrica polinomial real de grau n, admite no máximo n raízes, no conjunto dos números reais.

Algumas desigualdades polinomiais
Algumas desigualdades bastante comuns que podem ser obtidas a partir das identidades polinomiais:

1. a²+b² > 2ab
2. (a+b)/2 > R[a.b]
3. a²+b²+c² > ab+ac+bc

onde R[x] é a raiz quadrada de x e o símbolo > significa maior ou igual.