Geometria Espacial - Resumo

Um pequeno resumo sobre Geometria Espacial, para acertar todas as questões no seu vestibular.

Bons estudos! ;)

Dica para multiplicar por 11

Para multiplicar mentalmente por 11, basta somar os dois algarismos que formam o número a ser multiplicado por 11, colocando o resultado entre eles (o resultado não pode ser maior que 10).

Exemplo 1:

33 x 11
Somamos 3 com 3, obtendo 6. Este 6 é o algarismo colocado entre os dois três. Logo:
33 x 11 = 363.

Exemplo 2:

41 x 11
Somamos 4 com 1, obtendo 5. Este 5 é o algarismo colocado entre o 4 e o 1. Logo:
41 x 11 = 451

Tente você:

54 x 11 = (594)
72 x 11 = (792)
22 x 11 = (242)

Polinômios e Equações algébricas

A função polinomial

Um polinômio (função polinomial) com coeficientes reais na variável x é uma função matemática f:RR definida por:

p(x) = a_o + a₁x + a₂x² + a₃x³ +...+ a_nxⁿ

onde a_o, a₁, a₂, ..., a_n são números reais, denominados coeficientes do polinômio. O coeficiente a_o é o termo constante.
Se os coeficientes são números inteiros, o polinômio é denominado polinômio inteiro em x.
Uma das funções polinomiais mais importantes é f:RR definida por:

f(x) = a x² + b x + c

O gráfico desta função é a curva plana denominada parábola, que tem algumas características utilizadas em estudos de Cinemática, radares, antenas parabólicas e faróis de carros. Ver o link A função quadrática nesta mesma página para entender a importância da função polinomial quadrática.
O valor numérico de um polinômio p=p(x) em x=a é obtido pela substituição de x pelo número a, para obter p(a).

Exemplo: O valor numérico de p(x)=2x²+7x-12 para x=3 é dado por:

p(3) = 2×(3)²+7×3-12 = 2×9+21-12 = 18+9 = 27

Grau de um polinômio

Em um polinômio, o termo de mais alto grau que possui um coeficiente não nulo é chamado termo dominante e o coeficiente deste termo é o coeficiente do termo dominante. O grau de um polinômio p=p(x) não nulo, é o expoente de seu termo dominante, que aqui será denotado por gr(p).
Acerca do grau de um polinômio, existem várias observações importantes:

1. Um polinômio nulo não tem grau uma vez que não possui termo dominante. Em estudos mais avançados, define-se o grau de um polinômio nulo mas não o faremos aqui.
2. Se o coeficiente do termo dominante de um polinômio for igual a 1, o polinômio será chamado mônico.
3. Um polinômio pode ser ordenado segundo as suas potências em ordem crescente ou decrescente.
4. Quando existir um ou mais coeficientes nulos, o polinômio será dito incompleto.
5. Se o grau de um polinômio incompleto for n, o número de termos deste polinômio será menor do que n+1.
6. Um polinômio será completo quando possuir todas as potências consecutivas desde o grau mais alto até o termo constante.
7. Se o grau de um polinômio completo for n, o número de termos deste polinômio será exatamente n+1.
   

É comum usar apenas uma letra p para representar a função polinomial p=p(x) e P[x] o conjunto de todos os polinômios reais em x.

Igualdade de polinômios

Os polinomios p e q em P[x], definidos por:

p(x) = a_o + a₁x + a₂x² + a₃x³ +...+ a_nxⁿ
q(x) = b_o + b₁x + b₂x² + b₃x³ +...+ b_nxⁿ

são iguais se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n:

a_k=b_k

Teorema: Uma condição necessária e suficiente para que um polinômio inteiro seja identicamente nulo é que todos os seus coeficientes sejam nulos.
Assim, um polinômio:

p(x) = a_o + a₁x + a₂x² + a₃x³ +...+ a_nxⁿ

será nulo se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n:

a_k= 0

O polinômio nulo é denotado por p_o=0 em P[x].
O polinômio unidade (identidade para o produto) p₁=1 em P[x], é o polinômio:

p(x) = a_o + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ...+ a_nxⁿ

tal que a_o=1 e a_k=0, para todo k=1,2,3,...,n.

Soma de polinômios

Consideremos p e q polinômios em P[x], definidos por:

p(x) = a_o + a₁x + a₂x² + a₃x³ +... + a_nxⁿ
q(x) = b_o + b₁x + b₂x² + b₃x³ +... + b_nxⁿ

Definimos a soma de p e q, por:

(p+q)(x) = (a_o+b_o)+(a₁+b₁)x+(a₂+b₂)x²+...+(a_n+b_n)xⁿ

A estrutura matemática (P[x],+) formada pelo conjunto de todos os polinômios com a soma definida acima, possui algumas propriedades:
Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:

(p + q) + r = p + (q + r)

Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que:

p + q = q + p

Elemento neutro: Existe um polinômio p_o(x)=0 tal que

p_o + p = p

qualquer que seja p em P[x].

Elemento oposto: Para cada p em P[x], existe outro polinômio q=-p em P[x] tal que

p + q = 0

Com estas propriedades, a estrutura (P[x],+) é denominada um grupo comutativo.

Produto de polinômios

Sejam p, q em P[x], dados por:

p(x) = a_o + a₁x + a₂x² + a₃x³ +...+ a_nxⁿ
q(x) = b_o + b₁x + b₂x² + b₃x³ +...+ b_nxⁿ

Definimos o produto de p e q, como um outro polinômio r em P[x]:

r(x) = p(x)·q(x) = c_o + c₁x + c₂x² + c₃x³ +...+ c_nxⁿ

tal que:

c_k = a_ob_k + a₁b_k-1 + a₂ b_k-2 + a₃b_k-3 +...+ a_k-1 b₁ + a_kb_o

para cada c_k (k=1,2,3,...,m+n). Observamos que para cada termo da soma que gera c_k, a soma do índice de a com o índice de b sempre fornece o mesmo resultado k.
A estrutura matemática (P[x],·) formada pelo conjunto de todos os polinômios com o produto definido acima, possui várias propriedades:

Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:

(p · q) · r = p · (q · r)

Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que:

p · q = q · p

Elemento nulo: Existe um polinômio p_o(x)=0 tal que

p_o · p = p_o

qualquer que seja p em P[x].
Elemento Identidade: Existe um polinômio p₁(x)=1 tal que

p₁ · p = p

qualquer que seja p em P[x]. A unidade polinomial é simplesmente denotada por p₁=1.
Existe uma propriedade mista ligando a soma e o produto de polinômios
Distributiva: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:

p · (q + r) = p · q + p · r

Com as propriedades relacionadas com a soma e o produto, a estrutura matemática (P[x],+,·) é denominada anel comutativo com identidade.

Espaço vetorial dos polinômios reais

Embora uma sequência não seja um conjunto mas sim uma função cujo domínio é o conjunto dos números naturais, usaremos neste momento uma notação para sequência no formato de um conjunto.
O conjunto P[x] de todos os polinômios pode ser identificado com o conjunto S das sequências quase-nulas de números reais , isto é, as sequências da forma:

p = (a_o,a₁,a₂,a₃,a₄,...,a_n,0,0,0,...)

Isto significa que após um certo número natural n, todos os termos da sequência são nulos.
A identificação ocorre quando tomamos os coeficientes do polinômio

p(x) = a_o + a₁x + a₂x² + a₃x³ +...+ a_nxⁿ

e colocamos os mesmos entre parênteses e após o n-ésimo coeficiente colocamos uma quantidade infinita de zeros, assim nós temos somente uma quantidade finita de números não nulos, razão pela qual tais sequências são denominadas sequências quase-nulas.
Esta forma de notação

p = (a_o,a₁,a₂,a₃,a₄,...,a_n,0,0,0,...)

funciona bem quando trabalhamos com espaços vetoriais, que são estruturas matemáticas onde a soma dos elementos e a multiplicação dos elementos por escalar têm várias propriedades.
Vamos considerar S o conjunto das sequências quase-nulas de números reais com as operações de soma, multiplicação por escalar e de multiplicação, dadas abaixo.
Sejam p e q em S, tal que:

p = (a_o,a₁,a₂,a₃,a₄,...,a_m,0,0,0,...)
q = (b_o,b₁,b₂,b₃,b₄,...,b_n,0,0,0,...)

e vamos supor que m < n.
Definimos a soma de p e q, como:

p+q = (a_o+b_o,a₁+b₁,a₂+b₂,...,a_n+b_n,0,0,0,...)

a multiplicação de p em S por um escalar k, como:

k.p = (ka_o,ka₁,ka₂,ka₃,ka₄,...,ka_m,0,0,...)

e o produto de p e q em S como:

p·q = (c_o,c₁,c₂,c₃,c₄,...,c_n,0,0,0,...)

sendo que

c_k = a_ob_k + a₁b_k-1 + a₂b_k-2 + a₃b_k-3 +...+ a_k-1b₁+a_kb_o

para cada c_k (k=1,2,3,...,m+n).
O conjunto S com as operações definidas é: associativo, comutativo, distributivo e possui elementos: neutro, identidade, unidade, oposto.

Características do grau de um polinômio

Se gr(p)=m e gr(q)=n então

gr(p.q) = gr(p) + gr(q)
gr(p+q)<max{gr(p),gr(q)}

Algoritmo da divisão de polinômios

Dados os polinômios p e q em P[x], dizemos que q divide p se existe um polinômio g em P[x] tal que

p(x) = g(x) q(x)

Se p em P[x] é um polinômio com gr(p)=n e g é um outro polinômio com gr(g)=m<n, então existe um polinômio q em P[x] e um polinômio r em P[x] com gr(r)<gr(g), tal que:

p(x) = q(x) g(x) + r(x)

Um caso particular importante é quando tomamos g(x)=x-c e

p(x) = a_o + a₁x + a₂x² + a₃x³ +...+ a_nxⁿ

Como para todo k=1,2,3,...,n vale a identidade:

x^k-c^k = (x-c)( x^k-1 + cx^k-2 + c²x^k-3 +...+ c^k-2x+c^k-1 )

então para

p(x) = a_o + a₁x + a₂x² + a₃x³ +...+ a_nxⁿ

temos que

p(c) = a_o + a₁c + a₂c² + a₃c³ +...+ a_ncⁿ

e tomando a diferença entre p(x) e p(c), teremos:

p(x)-p(c) = a₁(x-c) + a₂(x²-c²) + a₃(x³-c³) +...+ a_n(xⁿ-cⁿ)

o que garante que podemos evidenciar g(x)=x-c para obter

p(x)- p(c)=(x-c) q(x)

onde q=q(x) é um polinômio de grau n-1. Assim, podemos escrever:

p(x)=(x-c) q(x)+p(c)

e é claro que r(x)=p(c) é um polinômio de grau 0.

Zeros de um polinômio

Um zero de um polinômio real p em P[x] é um número c, que pode ser real ou complexo, tal que p(c)=0. O zero de um polinômio também é denominado raiz do polinômio.
Uma consequência do Algoritmo da Divisão de polinômios é que:

x-c é um fator de p se, e somente se, r(x)=f(c)=0

o que é equivalente a:

c é um zero de p, sse, x-c é um divisor de p=p(x)

Equações Algébricas e Transcendentes

Uma equação algébrica real na variável x é uma relação matemática que envolve apenas um número finito de operações de soma, subtração, produto, divisão e radiciação de termos envolvendo a variável x.
Exemplos

1. 2x²+3x+7=0
2. 3x²+7x^½=2x+3

A função exponencial exp(x)=e^x pode ser escrita como um somatório com infinitos termos contendo potências de x:

e^x = 1 + x +x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + x⁵/5! +...

assim, a equação

x²+7x=e^x

não é uma equação algébrica, o que equivale a dizer que esta equação é transcendente.
Quando a equação é da forma:

p(x) = 0

onde p é um polinômio real em P[x], ela será chamada equação polinomial.
Quando uma equação possui a variável sob um sinal de radiciação ela é chamada equação irracional.
Exemplo: 2x²+3x+7 =0 e 3x²+7x^½=2x+3 são equações algébricas. A primeira é polinomial, mas a segunda não é polinomial. Esta segunda é uma equação irracional.
Observação: Uma equação algébrica irracional sempre poderá ser colocada na forma de uma equação polinomial. Quando uma equação algébrica irracional é transformada em uma equação polinomial, as raízes da nova equação poderão não coincidir com as raízes da equação original e as raízes obtidas desta nova equação que não servem para a equação original são denominadas raízes estranhas.
Exercício: Apresentar uma equação irracional que tenha raízes estranhas.

Métodos de resolução algébrica

Alguns tipos especiais de equações podem ser resolvidos.
Equação do 1o. grau: A equação ax+b=0 com a diferente de zero, admite uma única raíz dada por:

x = -b/a

Equação do 2o. grau: A equação ax²+bx+c=0 com a diferente de zero, admite exatamente duas raízes no conjunto dos números complexos, dadas por:

x₁=(-b+R[b²-4ac] / 2a
x₂=(-b- R[b²-4ac]/ 2a

onde R[z] é a raiz quadrada de z.

Equação cúbica: A equação ax³+bx²+cx+d=0 com a não nulo, admite exatamente três raízes no conjunto dos números complexos que podem ser obtidas pela fórmula de Tartaglia (Cardano).

Equação quártica: A equação ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0 com a não nulo, admite exatamente quatro raízes no conjunto dos números complexos que podem ser obtidas pela fórmula de Ferrari.

Equação quíntica: Para equações de grau maior ou igual a 5, não existem métodos algébricos para obter todas as raízes, mas existem muitos métodos numéricos que proporcionam as raízes de tais equações com grande precisão.
Existe uma versão da planilha Kyplot disponível gratuitamente na Internet, que dispõe de um mecanismo capaz de calcular com grande precisão raízes de equações polinomiais de grau n.
Em Português, há um excelente livro que trata sobre Equações Algébricas e a história da Matemática subjacente: "O Romance das Equações Algébricas, Gilberto G. Garbi, Makron Books, São Paulo, 1999."

Teorema Fundamental da Álgebra

Teorema (Gauss): Toda equação algébrica polinomial com coeficientes reais ou complexos, admite no conjunto dos números complexos, pelo menos uma raiz.

Teorema equivalente: Toda equação algébrica polinomial de grau n, com coeficientes reais ou complexos, admite exatamente n raízes, no conjunto dos números complexos.

Consequência: Toda equação algébrica polinomial real de grau n, admite no máximo n raízes, no conjunto dos números reais.

Algumas desigualdades polinomiais
Algumas desigualdades bastante comuns que podem ser obtidas a partir das identidades polinomiais:

1. a²+b² > 2ab
2. (a+b)/2 > R[a.b]
3. a²+b²+c² > ab+ac+bc

onde R[x] é a raiz quadrada de x e o símbolo > significa maior ou igual.

NÚMEROS COMPLEXOS

Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Delta (b²- 4ac) na resolução da equação do 2º grau, nos deparamos com um valor negativo (Delta < 0). Nesse caso, sempre dizemos ser impossível a raiz no universo considerado (normalmente no conjunto dos reais- R). A partir daí, vários matemáticos estudaram este problema, sendo Gauss e Argand os que realmente conseguiram expor uma interpretação geométrica num outro conjunto de números, chamado de números complexos, que representamos por C.

Números Complexos

Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por C, o conjunto de pares ordenados, ou seja:

z = (x,y)
onde x pertence a R e y pertence a R.

Então, por definição, se z = (x,y) = (x,0) + (y,0)(0,1) onde i=(0,1), podemos escrever que:

z=(x,y)=x+yi

Exemplos:
(5,3)=5+3i
(2,1)=2+i
(-1,3)=-1+3i ...

Dessa forma, todo o números complexo z=(x,y) pode ser escrito na forma z=x+yi, conhecido como forma algébrica, onde temos:

x=Re(z, parte real de z
y=Im(z), parte imaginária de z

Igualdade entre números complexos
Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se z₁=a+bi e z₂=c+di, temos que:

z₁=z₂<==> a=c e b=d

Adição de números complexos
Para somarmos dois números complexos basta somarmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z₂=c+di, temos que:

z₁+z₂=(a+c) + (b+d)

Subtração de números complexos
Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z₂=c+di, temos que:

z₁-z₂=(a-c) + (b-d)

Potências de i
Se, por definição, temos que i = - (-1)^1/2, então:
i⁰ = 1
i¹ = i
i² = -1
i³ = i².i = -1.i = -i
i⁴ = i².i²=-1.-1=1
i⁵ = i⁴. 1=1.i= i
i⁶ = i⁵. i =i.i=i²=-1
i⁷ = i⁶. i =(-1).i=-i ......

Observamos que no desenvolvimento de iⁿ (n pertencente a N, com n variando, os valores repetem-se de 4 em 4 unidades. Desta forma, para calcularmos iⁿ basta calcularmos i^r onde r é o resto da divisão de n por 4.

Exemplo:
i⁶³ => 63 / 4 dá resto 3, logo i⁶³=i³=-i

Multiplicação de números complexos
Para multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos a multiplicacão dois dois binômios, observando os valores das potência de i. Assim, se z₁=a+bi e z₂=c+di, temos que:

z₁.z₂ = a.c + adi + bci + bdi²
z₁.z₂= a.c + bdi² = adi + bci
z₁.z₂= (ac - bd) + (ad + bc)i
Observar que : i²= -1

Conjugado de um número complexo
Dado z=a+bi, define-se como conjugado de z (representa-se por z^-) ==> z^-= a-bi

Exemplo:
z=3 - 5i ==> z^- = 3 + 5i
z = 7i ==> z^- = - 7i
z = 3 ==> z^- = 3

Divisão de números complexos
Para dividirmos dois números complexos basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Assim, se z₁= a + bi e z₂= c + di, temos que:
z₁ / z₂ = [z₁.z₂^-] / [z₂z₂^-] = [ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-di) ]

Módulo de um número complexo
Dado z = a+bi, chama-se módulo de z ==> | z | = (a²+b²)^1/2, conhecido como ro

Interpretação geométrica
Como dissemos, no início, a interpretação geométrica dos números complexos é que deu o impulso para o seu estudo. Assim, representamos o complexo z = a+bi da seguinte maneira

Forma polar dos números complexos
Da interpretação geométrica, temos que:

 que é conhecida como forma polar ou trigonométrica de um número complexo.

Operações na forma polar
Sejam z₁=ro₁(cos t₁₁) e z₂=ro₁(cos t₁+i sent₁). Então, temos que:

a)Multiplicação

b)Divisão

c)Potenciação

d)Radiciação 

 

para n = 0, 1, 2, 3, ..., n-1

 

Exercícios Resolvidos

1 - Sejam os complexos z₁=(2x+1) + yi e z₂=-y + 2i
Determine x e y de modo que z₁ + z₂ = 0
Temos que:
z₁ + z₂ = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0
logo, é preciso que:
2x+1 - y =0 e y+2 = 0
Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2

2 - Determine x, de modo que z = (x+2i)(1+i) seja imaginário puro
Efetuando a multiplicação, temos que:
z = x + (x+2)i + 2i²
z= (x-2) + (x+2)i
Para z ser imaginário puro é necessário que (x-2)=0, logo x=2

3 - Qual é o conjugado de z = (2+i) / (7-3i)?
Efetuando a divisão, temos que:
z = (2+i) / (7-3i) . (7+3i) / (7+3i) = (11 + 3i) / 58
O conjugado de Z seria, então z^- = 11/58 - 13i/58

4 - Os módulos de z₁ = x + 20^1/2i e z₂= (x-2) + 6i são iguais, qual o valor de x?
Então, |z₁= (x² + 20)^1/2 = |z₂ = [(x-2)² + 36}^1/2
Em decorrência,
x² + 20 = x² - 4x + 4 + 36
20 = -4x + 40
4x = 20, logo x=5

5 - Escreva na forma trigonométrica o complexo z = (1+i) / i
Efetuando-se a divisão, temos:
z = [(1+i). -i] / -i² = (-i -i²) = 1 - i
Para a forma trigonométrica, temos que:
r = (1 + 1)^1/2 = 2^1/2
sen t = -1/2^1/2 = - 2^1/2 / 2
cos t = 1 / 2^1/2 = 2^1/2 / 2
Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que t = 315º
Lembrando que a forma trigonométrica é dada por:
z = r(cos t + i sen t), temos que:
z = 2^1/2 ( cos 315º + i sen 315º )

 

Análise Combinatória

Introdução 
Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias.
 Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p<m.
Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos.
Observação: É comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas todo o cuidado é pouco com os mesmos, que às vezes são utilizados em concursos em uma forma dúbia!
 
Arranjos
São agrupamentos formados com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos entre sí pela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser simples ou com repetição.
Arranjo simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
Fórmula: As(m,p) = m!/(m-p)!
Cálculo para o exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12.
Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}
 
Permutações
Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre sí pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.
Permutação simples: São agrupamentos com todos os m elementos distintos.
Fórmula: Ps(m) = m!.
Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3!=6.
Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}
Permutação com repetição: Dentre os m elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos a suposição que existem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que m1+m2+m3+...+mn=m.
Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, então
Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn)
Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição.
Cálculo para o exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1 e m=6, logo: Pr(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15.
Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elementos do conjunto C={A,R,T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que contêm a repetição de todos os elementos de C aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA,
AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA,
ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR}
Permutação circular: Situação que ocorre quando temos grupos com m elementos distintos formando uma circunferência de círculo.
Fórmula: Pc(m)=(m-1)!
Cálculo para o exemplo: P(4)=3!=6
Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repetição das posições?
Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teriamos 24 grupos, apresentados no conjunto:
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,
BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,
CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}
Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que:
ABCD=BCDA=CDAB=DABC
ABDC=BDCA=DCAB=CABD
ACBD=CBDA=BDAC=DACB
ACDB=CDBA=DBAC=BACD
ADBC=DBCA=BCAD=CADB
ADCB=DCBA=CBAD=BADC
Existem somente 6 grupos distintos, dados por:
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}
 
Combinações 
Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos entre sí apenas pela espécie.
Combinação simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!]
Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD}
 
Número de Arranjos simples 
Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras diferentes poderemos escolher p elementos (p<m) deste conjunto? Cada uma dessas escolhas será chamada um arranjo de m elementos tomados p a p. Construiremos uma sequência com os m elementos de C.
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Cada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta operação com a mudança da cor do elemento para a cor vermelha.
Para escolher o primeiro elemento do conjunto C que possui m elementos, temos m possibilidades. Vamos supor que a escolha tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C.
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no conjunto e constatamos que agora existem apenas m-1 elementos. Suponhamos que tenha sido retirado o último elemento dentre os que sobraram no conjunto C. O elemento retirado na segunda fase é o (m-1)-ésimo.
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Após a segunda retirada, sobraram m-2 possibilidades para a próxima retirada. Do que sobrou, se retirarmos o terceiro elemento como sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser visualizado como:
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Se continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1 elemento a menos do que na fase anterior. Para retirar o p-ésimo elemento, restarão m-p+1 possibilidades de escolha.
Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos tomados p a p, basta multiplicar os números que aparecem na segunda coluna da tabela abaixo:

Retirada	Número de possibilidades
1	m
2	m-1
3	m-2
...	...
p	m-p+1
No.de arranjos	m(m-1)(m-2)...(m-p+1)

Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, por A(m,p) e a expressão para seu cálculo será dada por:
A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1)
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos diferentes? O conjunto solução é:
{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE,
IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO}
A solução numérica é A(5,2)=5×4=20.
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos (não necessariamente diferentes)?
Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a regra do produto para concluir que há 5x5=25 possibilidades.
O conjunto solução é:
{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II,
IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU}
Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual sistema brasileiro de trânsito que permite 3 letras iniciais e 4 algarismos no final?
XYZ-1234
Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10 algarismos que podem ser dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto.

Número de Permutações simples 
Este é um caso particular de arranjo em que p=m. Para obter o número de permutações com m elementos distintos de um conjunto C, basta escolher os m elementos em uma determinada ordem. A tabela de arranjos com todas as linhas até a ordem p=m, permitirá obter o número de permutações de m elementos

Retirada	Número de possibilidades
1	m
2	m-1
...	...
p	m-p+1
...	...
m-2	3
m-1	2
m	1
No.de permutações

m(m-1)(m-2)...(m-p+1)...4.3.2.1

Denotaremos o número de permutações de m elementos, por P(m) e a expressão para seu cálculo será dada por: P(m) = m(m-1)(m-2) ... (m-p+1) ... 3 . 2 . 1
Em função da forma como construímos o processo, podemos escrever:
A(m,m) = P(m)
Como o uso de permutações é muito intenso em Matemática e nas ciências em geral, costuma-se simplificar a permutação de m elementos e escrever simplesmente:
P(m) = m!
Este símbolo de exclamação posto junto ao número m é lido como: fatorial de m, onde m é um número natural.
Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido origem nas coisas da natureza, procura-se dar sentido para a definição de fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo m=0 e para isto podemos escrever:
0!=1
Em contextos mais avançados, existe a função gama que generaliza o conceito de fatorial de um número real, excluindo os inteiros negativos e com estas informações pode-se demonstrar que 0!=1.
O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de uma forma recursiva através da função P=P(m) ou com o uso do sinal de exclamação:
(m+1)! = (m+1).m!,    0! = 1
Exemplo: De quantos modos podemos colocar juntos 3 livros A, B e C diferentes em uma estante? O número de arranjos é P(3)=6 e o conjunto solução é:
P={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}
Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as letras da palavra AMOR? O número de arranjos é P(4)=24 e o conjunto solução é:
P={AMOR,AMRO,AROM,ARMO,AORM,AOMR,MARO,MAOR,
MROA,MRAO,MORA,MOAR,OAMR,OARM,ORMA,ORAM,
OMAR,OMRA,RAMO,RAOM,RMOA,RMAO,ROAM,ROMA}

Número de Combinações simples 
Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que é possível escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal (H,M). Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H), assim não há a necessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de combinação.
Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos.
Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente.
Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja:
C(m,p) = A(m,p) / p!
Como
A(m,p) = m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)
então:
C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p!
que pode ser reescrito
C(m,p)=[m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)]/[(1.2.3.4....(p-1)p]
Multiplicando o numerador e o denominador desta fração por
(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1
que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará:
m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1 = m!
e o denominador ficará:
p! (m-p)!
 
Princípio fundamental da contagem
Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por:
T = k1. k2 . k3 . ... . kn
Exemplo:
O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado?
Solução:
Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ.
Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no país existissem 175.760.001 veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, já que não existiriam números suficientes para codificar todos os veículos.