Exercícios Polinômios

01. Calcular o valor numérico do polinômio P(x) = x³ - 7x² + 3x - 4 para x = 2. 
Resp.: P(2) = -18

02.  Determinar os valores reais de a e b para que o polinômio x³ + 6x² + ax + b seja um cubo perfeito.
Resp.: a = 12 e b = 8

03. (UESB) Se P(x) = xⁿ - x^n-1 + x^n-2 - ... + x² - x + 1 e P(-1) = 19, então n é igual a:

a) 10
b) 12s
c) 14
d) 16
e) 18

04. (UBERL) Se P(x) é um polinômio tal que 2P(x) + x² P(x - 1) ≡ x³ + 2x + 2, então P(1) é igual a:

a) 0
b) -1
c) 1
d) -2
e) 2

05.  As soluções da equação Q(x) = 0, em que Q(x) é o quociente do polinômio x⁴ - 10x³ + 24x² + 10x - 24 por x² - 6x + 5, são:

a) -1 e 5
b) -1 e -5
c) 1 e -5
d) 1 e 5
e) 0 e 1


06. (UESP) Se o polinômio P(x) = x³ + mx² - 1 é divisível por x² + x - 1, então m é igual a:

a) -3
b) -2
c) -1
d) 1
e) 2

07. (UEL) Dividindo-se o polinômio x⁴ + 2x³ - 2x² - 4x - 21 por x + 3, obtêm-se:

a) x3 - 2x2 + x -12 com resto nulo;
b) x3 - 2x2 + 3 com resto 16;
c) x3 - x2 -13x + 35 e resto 84;
d) x3 - x2 - 3x + 1com resto 2;
e) x3 - x2 + x -7 e resto nulo;


08. (UEL) Se o resto da divisão do polinômio p = x⁴ - 4x³ - kx - 75 por (x - 5) é 10, o valor de k é:

a) -5
b) -4
c) 5
d) 6
e)

09. Sejam m e n determinados de tal modo que o polinômio x⁴ - 12x³ + 47x² + mx + n seja divisível por
x² - 7x + 6. Então m + n é igual a:

a) 72
b) 0
c) -36
d) 36
e) 58

10. Para que o polinômio 2x⁴ - x³ + mx² - nx + 2 seja divisível por x² - x - 2, devemos ter:
       
a) m = 1 e n = 6
b) m = -6 e n = -1
c) m = 6 e n = 1
d) m = -6 e n = 1
e) m = 6 e n = -1

Sistemas Lineares

Questões:

01. Resolver o sistema abaixo pela Regra de Cramer.




02. Resolver o sistema abaixo pela Regra de Cramer.



03. (UESP) Se o terno (x0, y0, z0) é a solução do sistema abaixo, então 3x0 + 5y0 + 4z0 é igual a:



      a) -8
      b) -7
      c) -6
      d) -5
      e) -4


04. Calcular a característica da matriz abaixo:




05. O sistema abaixo:

 

      a) só apresenta a solução trivial;
      b) é possível e determinado não tendo solução trivial;
      c) é possível e indeterminado;
      d) é impossível;
      e) admite a solução (1; 2; 1)


06. O sistema abaixo:

 

      a) é impossível;
      b) é possível e determinado;
      c) é possível e indeterminado;
      d) admite apenas a solução (1; 2; 3);
      e) admite a solução (2; 0; 0)


07. (UEL) O sistema abaixo, de incógnitas x e y, é:



      a) impossível, para todo k real diferente de -21;
      b) possível e indeterminado, para todo k real diferente de -63;
      c) possível e determinado, para todo k real diferente de -21;
      d) possível e indeterminado, para todo k real diferente de -3;
      e) possível e determinado, para todo k real diferente de -1 e -63.


08. Considere o seguinte sistema de equações de incógnitas x e y:

 
Esse sistema tem uma única solução para certo número real k que é um:

      a) quadrado perfeito
      b) número primo
      c) número racional não inteiro
      d) número negativo
      e) múltiplo de 5


09. Se tivermos o sistema abaixo, então x + y + z + t é igual a:



      a) -1
      b) 7
      c) 5
      d) 4
      e) 5/9


10. Determinar m para que o sistema abaixo tenha apenas a solução trivial.



Resolução:
01 - (2; 3)

02 - (1; 2; 3)

03 - B	04 - 3	05 - D	06 - C
07 - C	08 - A	09 - C	10 - m ¹ 4

Análise Combinatória

Questões

Permutação:
1-Com as vogais: A,E,I,O e U, quantas permutações podem ser formadas contendo as letras: A,E e I.

2-De quantos modos distintos podemos colocar 3 livros juntos em uma estante de biblioteca?
Auxílio: P(n)=n!, n=3

Resposta: N=1×2×3=6

3-De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em um banco de jardim com 5 lugares?
Auxílio: P(n)=n!, n=5

Resposta: N=1×2×3×4×5=120

4-Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra AMOR?
Auxílio: P(n)=n!, n=4

Resposta: N=1×2×3×4=24

5-Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9.
Auxílio:

Resposta: P(5)=120.

6-Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9, desde que estejam sempre juntos os algarismos 1 e 3.
Auxílio: Cada conjunto com os algarismos 13 e 31 forma um grupo que junto com os outros, fornece 4 grupos.

Resposta: N=2×P(4)=2×24=48

7-Consideremos um conjunto com n letras. Quantas permutações começam por uma determinada letra?

Resposta: N=P(n-1)=(n-1)!

8-Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI?
Resposta: P(9)=9!

9-Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por A?

Resposta: P(8)=8!

10-Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por AB?

Resposta: P(7)=7!

Combinação simples
11-Um indivíduo possui 25 livros diferentes. De quantas formas distintas ele poderá empacotar tais livros em grupos de 6 livros?

12-Quantos grupos de 3 pessoas podem ser montados com 8 pessoas?
Auxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!]; m=8,p=3

Resposta: C=8!/(3!5!)=(8×7×6)/(1×2×3)=56

13-Quantos grupos de 2 pessoas podem ser montados com 1000 pessoas?
Auxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!], m=1000, p=2

Resposta: C=1000!/(2!998!)=1000×999=999000

14-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto?
Conceito: Combinação
Auxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!], m=10, p=4

Resposta: C=10!/(4!6!)=(10×9×8×7)/(1×2×3×4)=210

15-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que sempre comecem pela letra A?
Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=1, p1=1

Resposta: C=C(1,1).C(9,3)=(1×9×8×7)/6=84

16-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que sempre estejam juntas as letras A e B?
Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=2, p1=2

Resposta: C=C(2,2).C(8,2)=(1×8×7)/2=28

17-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que não contenham nem as letras A e B?
Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=2, p1=0

Resposta: C=C(2,0).C(8,4)=(1×8×7×6×5)/24=70

18-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que somente uma das letras A ou B esteja presente, mas não as duas?
Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=2, p1=1

Resposta: C=C(2,1).C(8,3)=(2×8×7×6)/6=112

19-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que contêm 2 dentre as 3 letras A,B e C?
Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=3, p1=2

Resposta: C=C(3,2).C(7,2)=(3×7×6)/2=63

20-Em uma sala existem 40 pessoas, 18 mulheres e 22 homens. Quantas comissões podem ser montadas nesta sala contendo 3 mulheres e 5 homens?

21-Calcular o valor de m tal que 5 C(m+1,3)=2 C(m+2,2).


Arranjo simples
22-Quantos números diferentes com 1 algarismo, podemos formar com os algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.

Resposta: N1=A(9,1)=9

23-Quantos números distintos com 2 algarismos diferentes, podemos formar com os dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Auxílio: Os números iniciados por 0 não terão 2 dígitos e sua quantidade corresponde a A(9,1).

Resposta: N2=A(10,2)-A(9,1)=10×9-9=90-9=81

24-Quantos números distintos com 3 algarismos diferentes, podemos formar com os dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.
Auxílio: Os números iniciados por 0 não terão 3 dígitos e sua quantidade corresponde a A(9,2).

Resposta: N3=A(10,3)-A(9,2)=720-720=648

25-Quantos números distintos com 4 algarismos diferentes, podemos formar com: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.
Auxílio: Os números iniciados por 0 não terão 3 dígitos e sua quantidade corresponde a A(9,3).

Resposta: N4=A(10,4)-A(9,3)=5040-504=4536

26-Quantos números distintos menores que 10000 podem ser formados com algarismos diferentes da coleção: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Resposta: N=N1+N2+N3+N4=9+81+648+4536=5274

27-No sistema decimal de numeração, quantos números existem com 4 algarismos com 2 algarismos repetidos?
Auxílio: A quantidade de números distintos com 4 algarismos é 4536 e a quantidade total de números (com repetição ou não) com 4 algarismos é 9000.

Resposta: N=9000-4536=4464

28-Com as 5 vogais: A,E,I,O,U, obter o conjunto solução que contém todos os arranjos tomados 2 a 2.

29-Usando-se apenas os algarismos 1,3,5,7,9 quantos números com 3 algarismos podem ser montados?
Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=5, p=3

Resposta: A=5!/2!=60

30-Usando-se os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 quantos números com 4 algarismos podem ser montados?
Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=10, p=4

Resposta: A=10!/6!=5040

31-Usando-se as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z quantos arranjos distintos com 3 letras podem ser montados?
Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=26, p=3

Resposta: A=26!/23!=26.25.24=15600

32-Com as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z e os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, quantas placas de carros podem ser escritas contendo 3 letras seguidas de 4 algarismos?
Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=26, p=3, n=10, q=4

Resposta: A=(26!/23!).(10!/6!)=78624000

Análise Combinatória

Questões:

01. (FUVEST) Considere todas as trinta e duas seqüências, com cinco elementos cada uma, que podem ser formadas com os algarismos 0 e 1. Quantas dessas seqüências possuem pelo menos três zeros em posições consecutivas?

a) 3
b) 5
c) 8
d) 12
e) 16


02. (VUNESP) De uma  urna contendo 10 bolas coloridas, sendo 4 brancas, 3 pretas, 2 vermelhas e 1 verde, retiram-se, de uma vez, 4 bolas. Quantos são os casos possíveis em que aparecem exatamente uma bola de cada cor?

a) 120
b) 72
c) 24
d) 18
e) 12


03. (MACK) Cada um dos círculos da figura ao lado deverá ser pintado com uma única cor, escolhida dentre quatro disponíveis. Sabendo-se que dois círculos consecutivos nunca serão pintados com a mesma cor, então o número de formas de se pintar os círculos é:
                                                             
a) 100
b) 240
c) 729
d) 2916
e) 5040
 

04.  (UEL) Um professor de Matemática comprou dois livros para premiar dois alunos de uma classe de 42 alunos. Como são dois livros diferentes, de quantos modos distintos pode ocorrer a premiação?

a) 861
b) 1722
c) 1764
d) 3444
e) 242
 

05. (UNIV. EST. DE FEIRA DE SANTANA) O número de equipes de trabalho que poderão ser formadas num grupo de dez indivíduos, devendo cada equipe ser constituída por um coordenador, um secretário e um digitador, é:

a) 240
b) 360
c) 480
d) 600
e) 720
 

06. (MACK) Os polígonos de k lados (k múltiplos de 3), que podemos obter com vértices nos 9 pontos da figura, são em número de:


a) 83
b) 84
c) 85
d) 168
e) 169
 
 
07. (MACK) Um juiz dispõe de 10 pessoas, das quais somente 4 são advogados, para formar um único júri com 7 jurados. O número de formas de compor o júri, com pelo menos 1 advogado, é:

a) 120
b) 108
c) 160
d) 140
e) 128
 

08.  Do cardápio de uma festa constavam dez diferentes tipos de salgadinhos dos quais só quatro seriam servidos quentes. O garçom encarregado de arrumar a travessa e servi-la foi instruído para que a mesma contivesse sempre só 2 diferentes tipos de salgadinhos frios, e só 2 diferentes dos quentes. De quantos modos diferentes, teve o garçom a liberdade de selecionar os salgadinhos para compor a travessa, respeitando as instruções?

a) 90
b) 21
c) 240
d) 38
e) 80
 

09. (ITA) O número de soluções inteiras, maiores ou iguais a zero, da equação x + y + z + w = 5 é:

a) 36
b) 48
c) 52
d) 54
e) 56
 

10. (MACK) Dentre os anagramas distintos que podemos formar com n letras, das quais duas são iguais, 120 apresentam estas duas letras iguais juntas. O valor de n é:

a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
c) 122
 
Resolução:
 

01. C	02. C	03. D	04. B
05. E	06. E	07. A	08. A
09. E	10. C