Análise Combinatória

Questões

Permutação:
1-Com as vogais: A,E,I,O e U, quantas permutações podem ser formadas contendo as letras: A,E e I.

2-De quantos modos distintos podemos colocar 3 livros juntos em uma estante de biblioteca?
Auxílio: P(n)=n!, n=3

Resposta: N=1×2×3=6

3-De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em um banco de jardim com 5 lugares?
Auxílio: P(n)=n!, n=5

Resposta: N=1×2×3×4×5=120

4-Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra AMOR?
Auxílio: P(n)=n!, n=4

Resposta: N=1×2×3×4=24

5-Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9.
Auxílio:

Resposta: P(5)=120.

6-Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9, desde que estejam sempre juntos os algarismos 1 e 3.
Auxílio: Cada conjunto com os algarismos 13 e 31 forma um grupo que junto com os outros, fornece 4 grupos.

Resposta: N=2×P(4)=2×24=48

7-Consideremos um conjunto com n letras. Quantas permutações começam por uma determinada letra?

Resposta: N=P(n-1)=(n-1)!

8-Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI?
Resposta: P(9)=9!

9-Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por A?

Resposta: P(8)=8!

10-Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por AB?

Resposta: P(7)=7!

Combinação simples
11-Um indivíduo possui 25 livros diferentes. De quantas formas distintas ele poderá empacotar tais livros em grupos de 6 livros?

12-Quantos grupos de 3 pessoas podem ser montados com 8 pessoas?
Auxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!]; m=8,p=3

Resposta: C=8!/(3!5!)=(8×7×6)/(1×2×3)=56

13-Quantos grupos de 2 pessoas podem ser montados com 1000 pessoas?
Auxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!], m=1000, p=2

Resposta: C=1000!/(2!998!)=1000×999=999000

14-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto?
Conceito: Combinação
Auxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!], m=10, p=4

Resposta: C=10!/(4!6!)=(10×9×8×7)/(1×2×3×4)=210

15-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que sempre comecem pela letra A?
Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=1, p1=1

Resposta: C=C(1,1).C(9,3)=(1×9×8×7)/6=84

16-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que sempre estejam juntas as letras A e B?
Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=2, p1=2

Resposta: C=C(2,2).C(8,2)=(1×8×7)/2=28

17-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que não contenham nem as letras A e B?
Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=2, p1=0

Resposta: C=C(2,0).C(8,4)=(1×8×7×6×5)/24=70

18-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que somente uma das letras A ou B esteja presente, mas não as duas?
Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=2, p1=1

Resposta: C=C(2,1).C(8,3)=(2×8×7×6)/6=112

19-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que contêm 2 dentre as 3 letras A,B e C?
Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=3, p1=2

Resposta: C=C(3,2).C(7,2)=(3×7×6)/2=63

20-Em uma sala existem 40 pessoas, 18 mulheres e 22 homens. Quantas comissões podem ser montadas nesta sala contendo 3 mulheres e 5 homens?

21-Calcular o valor de m tal que 5 C(m+1,3)=2 C(m+2,2).


Arranjo simples
22-Quantos números diferentes com 1 algarismo, podemos formar com os algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.

Resposta: N1=A(9,1)=9

23-Quantos números distintos com 2 algarismos diferentes, podemos formar com os dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Auxílio: Os números iniciados por 0 não terão 2 dígitos e sua quantidade corresponde a A(9,1).

Resposta: N2=A(10,2)-A(9,1)=10×9-9=90-9=81

24-Quantos números distintos com 3 algarismos diferentes, podemos formar com os dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.
Auxílio: Os números iniciados por 0 não terão 3 dígitos e sua quantidade corresponde a A(9,2).

Resposta: N3=A(10,3)-A(9,2)=720-720=648

25-Quantos números distintos com 4 algarismos diferentes, podemos formar com: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.
Auxílio: Os números iniciados por 0 não terão 3 dígitos e sua quantidade corresponde a A(9,3).

Resposta: N4=A(10,4)-A(9,3)=5040-504=4536

26-Quantos números distintos menores que 10000 podem ser formados com algarismos diferentes da coleção: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Resposta: N=N1+N2+N3+N4=9+81+648+4536=5274

27-No sistema decimal de numeração, quantos números existem com 4 algarismos com 2 algarismos repetidos?
Auxílio: A quantidade de números distintos com 4 algarismos é 4536 e a quantidade total de números (com repetição ou não) com 4 algarismos é 9000.

Resposta: N=9000-4536=4464

28-Com as 5 vogais: A,E,I,O,U, obter o conjunto solução que contém todos os arranjos tomados 2 a 2.

29-Usando-se apenas os algarismos 1,3,5,7,9 quantos números com 3 algarismos podem ser montados?
Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=5, p=3

Resposta: A=5!/2!=60

30-Usando-se os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 quantos números com 4 algarismos podem ser montados?
Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=10, p=4

Resposta: A=10!/6!=5040

31-Usando-se as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z quantos arranjos distintos com 3 letras podem ser montados?
Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=26, p=3

Resposta: A=26!/23!=26.25.24=15600

32-Com as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z e os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, quantas placas de carros podem ser escritas contendo 3 letras seguidas de 4 algarismos?
Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=26, p=3, n=10, q=4

Resposta: A=(26!/23!).(10!/6!)=78624000